Cap. 2 c 2
c 2
c
FUNZIONI CONTINUE
c
c 2 ln x x ⇒ ln x x 2 ⇒ ln x x 2 . Quindi, 2 c c dividendo ambo i membri per x , si arriva alla relazione: c
Dal
lnx 2 0 c x 2 . c x teorema del confronto,
essendo:
c − 2
2 x =0 ,segue la (9). x ∞ c La (10) è deducibile immediatamente dalla (9) 1 operando il cambio di variabile x= . t Dalla (9) segue subito che: lim x−c⋅ln x =+ ∞ . (11) lim
fig. 11
x ∞
Infatti, se c < 0, il limite è evidente. Se c > 0, si scrive:
[
]
c⋅ln x , x x ∞ x ∞ e si nota che, nella parentesi quadra, il primo fattore diverge e il secondo converge a 1. E11) Provare che risulta per ogni costante c∈ ℝ+ lim x−c⋅ln x = lim x 1−
(12)
ex =∞ , c x ∞ x
(13)
lim x c e−x =0,
lim
x ∞ c
Infatti, posto x =e
c ln x
e, tenendo conto della (11), si ottiene: ex lim c = lim e x −c lnx , x∞ x x ∞ e, poiché lim x−c lnx =+ ∞ , segue la (12). x ∞
La (13) non è altro che il limite del reciproco della funzione precedente. F) Altre forme indeterminate. Per i prossimi esercizi occorre tener presente che: lim [ f x ]
g x
x c
=lim e
[ g x ln f x ]
x c
lim [ g x ln f x ]
=e x c
dove la seconda uguaglianza la possiamo scrivere solo quando lim [ g x ln f x ] esiste finito. F1) Si ha:
Calcolare il limite: lim 2
sen x x x
x 0
lim 2 x 0
F2) Si ha:
Calcolare il limite: lim 7
=e
3 x2 2 x 1 4 x 3 1
lim 7
F3)
.
senx x x
x∞
x ∞
x c
lim
x 0
senx x ⋅ln 2 x
=e
2 ln 2
=e
=4 .
.
3 x 2 2 x 1 4 x3 1
=e
lim
x ∞
3 x 22 x 1 ⋅ln 7 4 x 31
=e =1 .
Dimostrare che se: lim f x =1 , lim g x =∞ , allora: x c
ln 4
x c
- 38 -
0