Cap. 2
C3)
FUNZIONI CONTINUE
Calcolare il limite: lim [ ln sen 2 x −ln x ] . x 0
Si ha:
[
lim [ ln sen 2 x −ln x ] = lim ln
x 0
x 0
∞ . ∞
D)
Forma
D1)
Calcolare il limite: lim
]
sen 2 x 2 sen x⋅cos x =ln lim =ln 2⋅1⋅1 =ln 2 . x x x 0
cosxx . x ∞ 3 xsenx
cosx senx cosx x Poiché: lim =0 e lim =0 , si ha lim = lim x ∞ x x ∞ x x ∞ 3 xsen x x ∞
cosx x 1 = . senx 3 3 x 1
OSSERVAZIONE. Quando si vuole determinare il limite del rapporto di due polinomi p x e q x ∈ℝ [ x ] dove ℝ [ x ] indica l'“anello” dei polinomi nella indeterminata x e a coefficienti reali, (o, naturalmente, in una qualunque altra variabile), per x→∞, è utile dividere il numeratore e il denominatore n per x , essendo n il massimo dei gradi di questi due polinomi. Si può spesso applicare un procedimento analogo alle frazioni contenenti delle espressioni irrazionali, stando però ben attenti. D2) Provare che è: a n x na n−1 x n−1. . . + a1 x a 0 a n lim = . n n−1 x ∞ b n x b n−1 x . . . + b1 x b0 b n ∞ Il limite si presenta nella forma indeterminata . Per calcolarlo dividiamo numeratore e denomi∞ n natore per x . Così, con un semplice calcolo, si ha: an−1 a1 a0 n x a . .. + n x a x na x n−1. . . + a1 x a 0 a x n−1 x n lim n n n−1 n−1 = lim = n, bn x ∞ b n x b n−1 x . . . + b1 x b0 x ∞ n b b1 b x b n n−1 .. . + n−1 0n x x x
tendendo a zero (per x→∞) tutte le frazioni del numeratore e del denominatore. a n x na n−1 x n−1. . .. . + a1 xa 0 D3) Analogamente, si prova che il limite: lim , vale 0 per m m−1 x ∞ b m x b m−1 x .. . + b1 xb 0 nm e vale ∞ per n > m. 2 x x 2 −1 D4) Calcolare il limite: lim 3 . x ∞ 3 x 3 −2 x 2 1 Dividendo numeratore e denominatore per x, si ha: 1 2 1− 2 2 x x −1 x 3 3 lim 3 = lim = 3 = 9 . 3 2 x ∞ 3 x −2 x 1 x ∞ 3 2 1 3− 3 3 x x 2 D5) Calcolare il limite: lim x x 1− x .
x∞
Si ha:
lim x x 2 1−x = lim
x ∞
x ∞
x x 2 1− x 2
x 21x - 35 -
= lim
x ∞
1 1 = . 2 1 1 2 1 x