Cap. 2
FUNZIONI CONTINUE
lim log a x=log a c .
(6)
x c
Le proprietà della funzione y=log a x , studiate in algebra, vengono riassunte nei seguenti schemi: se a > 1: log a x è crescente, e: + per x 0 ; è positivo, per x > 1, log a x −∞ ∞ per x ∞ è negativo, per 0 < x < 1, è nullo, per x =1; ovvero, riassumendo: se: 0 < a < 1 log a x è decrescente, e: + per x 0 . è positivo, per 0 < x < 1, log a x ∞ −∞ per x ∞ è negativo, per x > 1, è nullo, per x =1; ovvero, riassumendo:
{ {
E) Funzione potenza e funzione irrazionale. Enunciamo le seguenti proprietà: 7°) La funzione y= x α , α∈R, è continua per ogni valore della x0; cioè qualunque sia il numero positivo c, si ha: lim x α=cα . x c
In particolare: n 8°) La funzione y= x è continua per ogni valore di x con x≥0, cioè qualunque sia il numero non negativo c, risulta: n n lim x= c . x c
ESEMPI. Si ha: a)
π 1 lim senx =sen = ; 6 2 π x
b)
6
x
3
c)
lim 5 =5 =125 ;
e)
π π 13 lim 2 tan 2 xcosx =2 tan 2 cos = ; f) 3 3 2 π x
x 2
x d) lim 3 2 log x
x 3
x1
3
OSSERVAZIONE. La funzione definita da:
lim x 3 −5 x 2 7 =−5 ;
{
1 y= xsen x 0
2 =32 log 12=5 ; x
x 2−3 x7 17 lim = . 2 x1 11 x 5
per x≠0 , per x=0 ;
è evidentemente continua per x ≠ 0, perché è un prodotto delle due funzioni continue x e sen
Però essa è continua anche per x = 0, perché si è dimostrato che risulta: lim x sen
∣
∣ ∣ ∣
x 0
1 . x
1 =0 , e 0 è pure x
1 1 =∣ x∣⋅ sen ≤∣ x∣ , il grafico della curva è x x situato nella regione del piano compresa fra le rette y=±x. Il grafico raggiunge la retta y=x nei il valore della funzione per x = 0. Inoltre: ∣ y∣= x sen
- 24 -