APPENDICE
A5)
Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2°
Un’equazione algebrica di secondo grado (=2°) è un oggetto algebrico che, scritto nella forma completa, si può rappresentare così: 2 ax bxc=0 dove a , b e c∈ℝ e a≠0 . Possiamo facilmente provare che le soluzioni possono essere scritte nella seguente forma: −b± b 2 −4 a c x= 2a Adesso conveniamo di chiamare il radicando del radicale che compare nella formula risolutiva discriminante dell’equazione di 2° ponendolo, per comodità, uguale a (si legge: delta) e cioè: 2 Δ=b −4 a c . Per classificare le due soluzioni dobbiamo considerare tre casi (in base alle variazioni del segno di ): 0. Allora la è un numero reale e abbiamo due soluzioni x 1 , x 2 reali e distinte 1) x1 ≠x 2 2) 3)
=0. Allora la è uguale a 0 e abbiamo due soluzioni x 1 , x 2 reali ma coincidenti x1 = x 2
0. Allora la non è un numero reale e l’equazione completa ax 2bxc=0 non ha soluzioni reali.
Esempio: risolviamo l’equazione: 2 x 2−9 x−5=0 . a=2 Innanzitutto si ha: b=−9 . Applichiamo la formula e otteniamo: c=−5 2 −b± b −4 a c 9± 81−4 2 −5 9± 121 9±11 x= = == = . 2a 4 4 4 911 20 9−11 2 1 Allora: x 1 = = =5 e x 2== =− =− . 4 4 4 4 2
{
Troviamo un'applicazione di questa formula nella fattorizzazione a coefficienti reali del trinomio di 2 secondo grado a x b xc . A questo proposito è facile dimostrare che vale la seguente identità: (1) a x 2b xc = a x− x 1 x−x 2 ≥0
dove x 1 e x 2 sono le soluzioni reali dell'equazione algebrica associata al trinomio e cioè le soluzioni dell'equazione: ax 2bxc=0 . Esempio:
1 Consideriamo il trinomio: − x 2 −3 x2 .Troviamo le soluzioni dell'equazione algebrica asso2 1 2 3± 94 =−3± 13 . Applicando la formula (1) possiamo quindi ciata: − x −3 x2=0 ⇒ x = 2 −1 fattorizzare il trinomio e esattamente: 1 2 1 − x −3 x2=− x − 3− 13 ⋅ x− 3 13 . 2 2
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