APPENDICE
A4)
Definizione e proprietà dei radicali
Definizione: dati tre elementi a ∈ℝ + e m , n∈ℕ si definisce radicale di indice m e radicando a n la n
potenza a m ed esattamente: n
an . DEF.
am =
m
Quindi per poter svolgere agevolmente qualunque operazione con i radicali sarà necessario applicare correttamente le proprietà delle potenze. Intanto ricordiamo che: Se n è numero intero pari Se n è numero intero dispari n n n a=b significa a=b a=b significa a=b n se a, b sono numeri reali positivi o nulli se a, b sono numeri reali positivi, negativi o nulli 3 3 Esempi: 9=3 ; mentre −9 non esiste; 27=3 e −27= -3 . Operazioni: n 4 Semplificazione: a n =a ; ad esempio 5 4 =5 . n⋅p m⋅p n m 15 = . a = a ; esempio: 14 a 30=7 a15 ; poiché si semplifica la frazione: 30 14 7 n n n Somma di radicali: si esegue solo se i radicali sono simili: a xb x= ab x ; Esempio: 2 25 2=7 2 ; mentre non si può calcolare: 2 35 2 . n m n p n m p Prodotto di radicali: si esegue solo se gli indici delle radici sono uguali: x ⋅ y = x y .
Esempio 1: a ⋅ b = n
x m
y
p
b ; dove con p si è indicato il m.c.m.(n, m); a x⋅
p n
y⋅
p n
3⋅4
4 4⋅ 3
2 5 ⋅ 35 = 220⋅315 . Esempio 2: 2 ⋅ 3 = n n n Quoziente di radicali: si esegue solo se gli indici delle radici sono uguali: x m : y p = x m : y p . 3
5 4
5
Esempio 1: a x : b y = n
m
p
3
12
a : b = a ; dove con p si è indicato il m.c.m.(n, m) b x⋅
p n
2
y⋅
p n
x⋅
p n
y⋅
p n
p
35 =12
2 20 : . 315 n m n m n 3 4 3 4 3 Trasporto di fattori sotto il segno di radice: a b = b ⋅a ; es.: 3⋅ 5 = 5 ⋅ 3 ;
Esempio 2: 2 5 : 35= 3
4
3⋅4
5 4 4⋅ 3
3
m n m Trasporto di fattori fuori dal segno di radice: b ⋅a =a b ; es.: n
Potenza di radicali:
n
n a = n a m ; m
m n
a 6⋅b3= a 6⋅b21=a3⋅b⋅ b . 3 4 4 Esempio: 3 = 3 3 .
m⋅n
4 6
4⋅ 6
Radice di radice: a= a ; Esempio: 7= 7= 7 . Razionalizzazione del denominatore. Esaminiamo tre casi: a a b a b a a b− c a b− c = ⋅ = ; 1. 2. = ⋅ = ; b b b b b−c b c b c b− c n n n n a a bn−m a⋅ b n−m a⋅ b n−m a⋅ b n−m . 3. n m = n m⋅ n n−m = n m n−m = n n = b b b b b b Radicali doppi: vale la seguente identità (utile se la quantità (a2 - b) è un quadrato):
a± b= Esempio:
a a 2 −b a− a 2 −b ± . 2 2
2 3=
2 22 −3 2− 2 2−3 21 2−1 3 1 = = . 2 2 2 2 2 2
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