Dibujo Bachillerato
TANGENCIAS Se dice que una recta es tangente a una circunferencia cuando la toca en un punto. La distancia del centro a la recta es igual al radio, por tanto, el radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la tangente. - Dibujar una recta tangente a la circunferencia dada en el punto T
DATOS
RESOLUCIÓN S
O
T
O T
La perpendicular S al radio OT en el punto de tangencia T, resuelve el problema.
- Dibujar las rectas tangentes a la circunferencia dada O1 que pasen por el punto exterior P DATOS
RESOLUCIÓN T1
P
O1
P
O1
O2
T2
Si unimos el punto P con el centro O1 de la circunferencia y trazamos otra que tenga O2 P de radio, cortará a la circunferencia dada en los puntos T1 y T2 que son los puntos de tangencia, los cuales unidos con P darán las soluciones del problema.
- Dibujar una circunferencia de radio r, tangente a dos rectas dadas R y S concurrentes DATOS
RESOLUCIÓN
R
R
r T1 O r
r T2
S
S
Trazamos dos rectas paralelas a las dadas y a una distancia r de ellas. El punto O, encuentro de éstas, es el centro de la circunferencia pedida. Las perpendiculares desde O a R y S dan los puntos de tangencias T1 y T2. Colocando la distancia r en los otros semiplanos que determinan las rectas, tendríamos tres soluciones más. l Dibujar una circunferencia tangente a otra dada O1 que pase por el punto exterior P y por el punto a de la circunferencia. DATOS
RESOLUCIÓN P
O1
a
P
a
O1
O2
Trazamos un radio de circunferencia O1 que pase por a y lo prolongamos. Unimos el punto a con P. La mediatriz del segmento aP nos da el centro O2 de la circunferencia que buscamos, en la prolongación del radio inicial. Dos circunferencias son tangentes en un punto T cuando existe una recta tangente común a ambas en dicho punto. - Dibujar una circunferencia de radio R tangente a otra dada O1, que pase por el punto exterior
DATOS
RESOLUCIÓN P
R
O2 R+r
P R
O1
O1
T1
O3
Sumamos el radio R a la circunferencia O1 y trazamos otra circunferencia concéntrica a ella. Desde el punto P trazamos una circunferencia de radio R. Donde corten las dos obtenemos O2 y O3, centros de circunferencia de radio R, y posibles soluciones del problema.
- Dibujar una circunferencia de radio r, tangente exterior a otra circunferencia dada O1 y a una recta dada S DATOS r
RESOLUCIĂ“N R
O1
O1 T2
R+r O2 r S
S
T1
Sumamos el radio r a la circunferencia O1, trazando una auxiliar de radio R+r. Trazamos una recta paralela a S a una distancia r, y donde se corta con la circunferencia auxiliar tenemos el centro O2. Los puntos de tangencia se obtienen uniendo los centros O1 y O2 para T2, y trazando la perpendicular a S desde O1 para T1.
- Dibujar una circunferencia de radio R tangente interior a otra circunferencia dadas O1 y a una recta dada S
DATOS R
RESOLUCIĂ“N
T2
R O2
O1
O1
R-r
S T1
Con centro en O1 trazamos una circunferencia de radio R-r . Trazamos una paralela a S a una distancia R y la prolongamos hasta que corte a la circunferencia auxiliar en el punto O2, centro de la circunferencia tangente a la recta y a la circunferencia dada. Los puntos de tangencia T1 y T2 vienen dados trazando una perpendicular a S desde O2 para T1 y pasando un radio desde O1 a O2 y prolongando para T2.
S
- Dibujar las rectas tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias dadas O1 y O2 DATOS
RESOLUCIÓN T1 a
T3 O1
O1
O2 r-r’
O3
O2
r’
r
T4
b
T2
Trazamos una circunferencia concéntrica con la mayor, O1, que tenga por radio la diferencia de radios de las circunferencias dadas. Unimos los centros O1 y O2 mediante una recta y trazamos su mediatriz. Desde O3 trazamos un arco con radio O1O3 que nos cortará a la circunferencia auxiliar en los puntos a y b. Si trazamos radios que pasen por O1, a y b tendremos los puntos de tangencia T1 y T2. Después trazamos radios paralelos por O2 para obtener los puntos de tangencia T3 y T4. Una vez conseguidos sólo queda trazar las rectas T1T3 y T2T4, tangentes exteriores a las dos circunferencias.
- Dibujar las rectas tangentes interiores comunes a las dos circunferencias dadas O1 y O2 DATOS
RESOLUCIÓN a
T1 T3 O1
O1
O2 r+r’
O2
O3
r
r’
T4 T2
b
Trazamos una circunferencia concéntrica con la mayor, O1, que tenga por radio la suma de radios de las circunferencias dadas. Unimos los centros O1 y O2 mediante una recta y trazamos su mediatriz. Desde O3 trazamos un arco con radio O1O3 que nos cortará a la circunferencia auxiliar en los puntos a y b. Si trazamos radios que pasen por O1, a y b tendremos los puntos de tangencia T1 y T2. Después trazamos radios paralelos por O2 para obtener los puntos de tangencia T3 y T4. Una vez conseguidos sólo queda trazar las rectas T1T4 y T2T3, tangentes interiores a las dos circunferencias.
- Dibujar dos circunferencias de radio R, tangentes exteriores a otras dos O1 y O2
DATOS R
RESOLUCIÓN
O3
O2
O2
R
O1
O1
O4 R
Trazaremos dos circunferencias concéntricas a las dadas, que tengan por radios los correspondientes a ellas más R; éstas se cortarán en los puntos O3 y O4 que son centros de las soluciones del problema. La unión de O3 y O4 con O1 y O2 nos darán los puntos de tangencia.
- Dibujar circunferencias de radio conocido, tangentes exteriores a una circunferencia e interiores a otra. Datos: R
O1
O2 O3 T1
O1 R-r1
T3
O2
R+r2
T4 T2
O4
Trazamos dos circunferencias auxiliares concéntricas con las dadas y de radios r2+R y R-r1, según el tipo de tangencia, exterior o interior. Su intersección nos determina los centros buscados O3 y O4, y la unión de éstos con los de las cirucunferencias iniciales, los puntos de tangencia.
- Dibujar las circunferencias tangentes comunes a tres rectas dadas. S
R
T7 T4
O3 O2 T3
T1 T6 T5
O1 T8
T2
X
T9 T11
T12 T10
O4
Sean R, S y X las rectas dadas. Los puntos de intersección O1, O2, O3 y O4, de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas dadas al cortarse, son centros de las circunferencias que resuelven el problema. - Dibujar circunferencias de radio conocido, tangentes interiores a dos circunferencias dadas. R
O3 O1
O2
T1
T3
R-r1
O1
O2
R-r2 r2
r1
T4
T2
O4
En el caso de tangencia interior de dos circunferencias, la distancia entre sus centros es la diferencia de los radios respectivos. Así, trazamos dos circunferencias auxiliares, concéntricas con las dadas, y de radios R-r1 y R-r2: la intersección de ambas nos define los centros O3 y O4 de las circunferencias solución. Los puntos de tangencia en las circunferencias iniciales se hallan sobre las rectas de centros, O3-O1, O4-O2 y O3-O2, O4-O1.
- Dibujar circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta conocido el punto de tangencia en la recta. Datos:
O
O2 r T
La perpendicular trazada a la recta dada por el punto de tangencia T es la recta de centros sobre la que deben hallarse los centros de las circunferencias buscadas. A partir de T, y en ambos sentidos, llevamos el radio r de la circunferencia y obtenemos los puntos A y B. Unimos cada uno de estos puntos con O y determinamos las mediatrices de los segmentos OA y OB, su intersección con la recta de centros nos facilita los centros de las dos circunferencias que, con radio igual a la distancia hasta T, cumplen las condiciones del enunciado. También se puede resolver aplicando el concepto de eje radical.
O O1 A
r
T B
- Dibujar circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta conocido el punto de tangencia en la circunferencia. Datos:
O T
O2 O r T
O1 r
T2
A
T1
Trazamos la recta que, en la circunferencia dada, une su centro con el punto de tangencia y la perpendicular a la misma por el punto T. Esta última perpendicular se corta en la recta r en el punto A. Determinamos las bisectrices de los ángulos suplementarios que tienen vértice en A: sus intersecciones con la recta O-T son los centros O1 y O2 de las circunferencias buscadas. Desde cada uno de ello, y perpendicularmente a r, determinamos los punto de tangencia sobre la recta T1 y T2. También se puede averiguar los puntos de tangencia considerando que A es un centro radical por lo que las tangentes tienen la misma magnitud.
Dibujo Bachillerato
ENLACES - Enlazar dos rectas secantes mediante un arco de radio conocido R
DATOS r
SOLUCIÓN
R T1 O r T2
S
S
Constituye una aplicación del trazado de una circunferencia tangente a dos rectas no paralelas. El centro O del arco del enlace está en la intersección de la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas, con la paralela a una cualquiera de ellas a la distancia R del radio dado. Conocido O, determinamos los puntos de tangencia T1 y T2 sobre cada una de las recta y trazamos, entre ambos, el arco del enlace. Una vez resuelto el ejercicio, vemos que la unión entre las rectas r y se se realiza de forma armónica y continua mediante el arco tangente a ambas rectas. l Enlazar dos rectas paralelas con arcos de igual radio conocidos los puntos de tangencia en cada una de ellas DATOS
SOLUCIÓN T1
T1
R
R
M
S
S
T2
T2
Por cada punto de tangencia T1y T2, trazamos la perpendicular a la recta correspondiente. Mediante la mediatriz del segmento T1/T2 determinamos su punto medio M, en el cual cambiar’a la curvatura de los dos arcos del enlace. La intersección de las perpendiculares iniciales con las mediatrices de los segmentos T1-M y T2-M, nos determinanlos centros O1 y O2 de los arcos que nos permiten enlazar las paralelas, tal como vemos en la figura. - Enlazar dos rectas paralelas con dos arcos de distinto radio conocidos los puntos de tangencia y uno de los radios. DATOS T1
r1
SOLUCIÓN
O2
T1
Por los puntos de tangencia R T1 y T2, trazamos T r1 perpendiculares a cada una de las rectas. Sobre ellas, llevamos la magnitud r1, del O1 radio dado y determinamos los puntos O1 *centro de uno de los arcos( y M. Unimos ambos S puntos y trazamos su T2 mediatriz, que corta la perpendicular trazada por T2 en la posición O2 del segundo centro. La recta de centros O1-O2, en su intersecci’on con el segmento T1-T2, determina el punto T en que se produce el cambio de curvatura entre los dos arcos del enlace. Finalmente, trazamos los dos arcos: el primero, con centro en O1 y radio r1; el segundo, con centro en O2 y con un radio igual a la distancia hasta T2.
R
T2 S r1 M
- Enlazar una recta y un arco de circunferencia, conocido el punto de enlace en el arco.
DATOS
RESOLUCIÓN
O O T T
r r
Q
Por el punto de tangencia T situado en la circunferencia inicial, trazamos la recta de centros que pasa por T y por el centro O de la circunferencia, y la perpendicular al mismo, que corta en el punto Q a la recta r. La bisectriz del ángulo de vértice en Q, al cortarse con la recta T-O, nos determina el centro O1, del arco del enlace. Desde él, trazmos la perpendicular a la recta para determinar el punto de tangencia T1 y poder completar el trazado.
- Enlazar una recta y un arco de circunferencia, conocido el punto de enlace en la recta. DATOS
RESOLUCIÓN
O T1
O
O1
T T
r A
Trazamos la recta de centros perpendicularmente a r por el punto de tangencia T. Después, llevamos sobre ella, en el sentido indicado en la figura, la magnitud del radio R de la circunferencia, y determinamos el punto A. La mediatriz del segmento O-A intercepta, en la recta de centros, el centro O, del arco del enlace. La dirección de la recta O-O1 determina el punto de tangencia T1 sobre la circunferencia, con lo que podemos realizar el enlace solicitado.
- Enlazar mediante arcos tangentes de circunferencia, varios puntos no alineados.
DATOS
RESOLUCIÓN
B
C
D
A
240º
O2
B
C
Ángulo AB = 240º
D
O1 O3
A El centro del primer arco AB puede estar en cualquier punto de la mediatriz del segmento que delimitan esos puntos. Para hacerlo determinado, necesitamos una segunda condición, que puede ser un valor concreto de radio o, como en el caso de la figura , un valor angular para dicho arco. Un arco , por ejemplo de 240º, significa un ángulo central del mismo valor. Esto nos obliga a trazar una semirrecta que parta de A e intercepte sobre la mediatriz de AB el primer centro O1, con un ángulo de 30º. El centro O2 del segundo arco BC está situado en la intersección de la mediatriz del segmento BC con la recta de centros de los arcos tangentes O1-B. Los restantes centros se determinan de la misma forma en la intersección de la mediatriz correspondiente con la recta de unión del centro anterior y el punto común de tangencia. - Enlazar dos circunferencias mediante un arco, conocido el punto de tangencia en una de ellas.
O2 O1 O2 O1 T1 T1
O3 T2 A
Sobre la prolongación del radio O1-T1, llevamos la magnitud T1-A, igual al radio de la otra circunferencia. La mediatriz del segmento O2-A, en su intersección con la prolongación del radio inicial, nos determina el centro O del arco del enlace, que trazamos tras situar el punto de tangencia T2 en la segunda cirucunferencia y en su intersección con la recta que definen los puntos O3 y O2.