Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Γενικές Ασκήσεις
αποδείξετε ότι ( ) .
64. Δίνονται τα διανύσματα
Ε 58 (2005)
, , με 2 και 1 . Αν η εξίσωση
C : x 2 y2 x y 0 παριστάνει κύκλο, να αποδείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων Ε 58 (2005) , βρίσκεται στο διάστημα ( , ) . 3 65. Η ευθεία : x y 3 0 τέμνει τον κύκλο C : x 2 y2 2x 4y 0 στα σημεία Α, Β. Να βρείτε
την τιμή του ώστε να ισχύει 0 , όπου Ο η αρχή των αξόνων. Ε 58 (2005) 66. Δίνεται η εξίσωση : (1 )x ( 1)y 1 0 , . α) Να αποδείξετε ότι: i) Η παριστάνει ευθεία για κάθε . ii) Οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο Ρ το οποίο να βρείτε. β) Nα προσδιορίσετε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στον άξονα y΄y και έχει κέντρο το σημείο Ρ. Ε 58 (2005) 2 2 67. Να βρείτε τη μικρότερη απόσταση του σημείου (4,4) από τον κύκλο C : x y 2x 0 . Ε 58 (2005) 2 2 68. Δίνονται οι εξισώσεις ( 4)x ( 1)y 4 1 0 (1) και ( 1)x ( 2)y 3 0 (2) με
69.
. α) να δειχθεί ότι κάθε μια από τις εξισώσεις (1), (2) αποτελεί εξίσωση ευθείας για κάθε . β) Να δειχθεί ότι κάθε μια από τις παραπάνω ευθείες με εξισώσεις (1), (2) διέρχεται από σταθερό σημείο. γ) Να εξεταστεί αν υπάρχει ευθεία που να ανήκει συγχρόνως και στις δύο οικογένειες ευθειών που ορίζονται από τις εξισώσεις (1) και (2) και να βρεθεί η εξίσωση της. δ) Να βρεθεί η τιμή του για την οποία οι ευθείες του ερωτήματος (α) είναι κάθετες, Ε 78 (2010) 2 Δίνεται η παραβολή C : y 2px και ένα σημείο της Μ, διαφορετικό από το 0. Η εφαπτόμενη (ε) της C στο Μ και η κάθετη (η) προς αυτή στο σημείο Μ τέμνουν τον άξονα x΄x στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι EA EB , όπου Ε είναι η εστία της παραβολής. Παπασπηλίου
Λύση : y yM p(x x M ) . Για y 0 , x x M άρα A(x M ,0) και d(E, A)
p p xM xM , 2 2
yM y και MB : y y M M (x x M ) . Για y 0 έχω p p
yM p p p (x x M ) x B p x M . Άρα d(E, B) p x M x M x M . 2 2 2 p Άρα EA EB . 0 yM
70. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ με
AOB 90o είναι εγγεγραμμένο στην παραβολή C : y2 2px .
Αν το τρίγωνο στρέφεται γύρω από το Ο, να αποδειχθεί ότι η χορδή ΑΒ της παραβολής διέρχεται από σταθερό σημείο. Παπασπηλίου
Λύση Αφού y2A 2px A , yA 0 , yB 0 , y2B 2px B ,
AB : y yA yA
yA yB 2p , άρα y 2A y 2B y A y B 2p
2p (x x A ) . Για y 0 έχω yA yB
y y 2p (x x A ) y2A yA yB 2px 2px A x M A B , yM 0 (1). Ακόμα yA yB 2p
65