La música y los números De Pitágoras a Schoenberg
ELI MAOR
TRADUCCIÓN DE INMACULADA PÉREZ PARRA
Título:
La música y los números. De Pitágoras a Schoenberg © Eli Maor, 2018 Edición original en inglés: Music by the Numbers. From Pythagoras to Schoenberg, Princeton University Press, 2018
De esta edición: © Turner Publicaciones S.L., 2018 Diego de León, 30 28006 Madrid www.turnerlibros.com Primera edición: septiembre de 2018 De la traducción del inglés: © Inmaculada Pérez Parra, 2018 Reservados todos los derechos en lengua castellana. No está permitida la reproducción total ni parcial de esta obra, ni su tratamiento o transmisión por ningún medio o método sin la autorización por escrito de la editorial. ISBN: 978-84-17141-73-8 Diseño de la colección: Enric Satué Ilustración de cubierta: John Cage, New River Watercolors, Series 1, #3 (1988). © John Cage Trust Depósito Legal: M-22987-2018 Impreso en España La editorial agradece todos los comentarios y observaciones: turner@turnerlibros.com
En recuerdo de mi abuelo, Karl Stiefel (1881-1947), que me inculcó el interés por la ciencia y el amor por la música.
ÍNDICE
Prefacio ................................................................................... 11 Prólogo. Un mundo en crisis ..................................... ii La teoría de cuerdas, 500 a.C. ................................... Acotación A. Todo es cuestión de nomenclatura .. iii La Ilustración ................................................................ iv El gran debate de las cuerdas, 1730-1780 .................. Acotación B. El Slinky o muelle ................................ v Un don muy preciado .................................................. vi Temperamento musical ............................................... Acotación C. Música para las crónicas. La más grave, la más larga, la más antigua, la más extraña ............................................................... vii Artefactos musicales. El diapasón y el metrónomo ............................................................. viii Ritmo, compás y métrica ............................................ xix Marcos de referencia. ¿Dónde estoy?........................ Acotación D. Jerarquías musicales ........................... x Música relativa .............................................................. xi Repercusión.................................................................... Acotación E. El ‘Bernoulli’ ......................................... xii Los últimos pitagóricos ............................................... i
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105 1 09 119 129 144 149 1 59 167 173
Bibliografía ............................................................................. 177 Créditos de las imágenes ...................................................... 181
PREFACIO
E
l gran compositor Igor Stravinski dijo una vez: “La forma
musical se parece a las matemáticas; quizá no a las matemáticas en sí, pero sí al pensamiento y a las relaciones matemáticas”. En efecto, numerosos escritores han comentado la supuesta afinidad entre las matemáticas y la música y mencionan el hecho de que a muchos científicos les guste escuchar música o incluso tocarla; nos viene a la mente Albert Einstein y su violín emblemático, pero ha habido muchos, muchos otros. Quizá sea cierto, aunque las relaciones entre las dos disciplinas nunca fueron del todo simétricas. Sí, hay muchas similitudes entre ambas, por ejemplo, tanto las matemáticas como la música dependen de un sistema de notación eficiente: un conjunto de símbolos escritos que expresan un significado preciso y nada ambiguo para los profesionales (aunque en la música se agrega una amplia variedad de términos verbales que indican los aspectos más emocionales de la interpretación). También es interesante señalar que los dos sistemas empezaron a evolucionar más o menos en la misma época, alrededor del año 1000 a.C., aunque el sistema de notación matemático sigue evolucionando conforme aparecen nuevas ramas de la disciplina. Las matemáticas y la música también comparten muchos términos. Tomemos, por ejemplo, la palabra armónico. Como adjetivo 11
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significa “agradable al oído”; como sustantivo, se refiere a la serie de tonos más agudos que acompañan al sonido de casi todos los instrumentos musicales. La palabra es casi igual de corriente en matemáticas y en música; los dos tomos del Diccionario enciclopédico de matemáticas enumeran no menos de veinte usos de la palabra, que incluyen el significado armónico, las series armónicas, el análisis armónico y las funciones armónicas. Otros ejemplos de términos compartidos son inversión (de un intervalo musical; de un punto con respecto a un círculo), raíz (de un acorde musical; de un número o de una ecuación), progresión (de notas; de números), y serie (en música, el sistema de doce sonidos de composición de Schoenberg; en matemáticas, una suma infinita de términos). En los últimos dos mil quinientos años, la música ha sido de gran inspiración para los matemáticos, que en ella han encontrado una fuente perenne de problemas notables con los que mantener la mente ocupada. Quizá el más famoso sea el de la cuerda vibrante, un tema que enfrentó a algunos de los mejores matemáticos del siglo xix en un debate que duró más de cincuenta años y que terminaría derivando en el desarrollo de las matemáticas posteriores al descubrimiento del cálculo. Lo más probable es que los significados aritméticos, geométricos y armónicos, A = a+b, G = √ab y H = 2ab de dos números positivos a y b 2 a+b tengan su origen en las proporciones 2:1, 3:2 y 4:3 de la octava, la quinta y la cuarta (las consonancias pitagóricas perfectas), tal como alude el adjetivo “armónico”. Y el origen de la rama de la teoría numérica que trata de las fracciones continuas puede que esté en la búsqueda de las mejores relaciones numéricas entre los distintos intervalos musicales de la escala. Pero ¿han influido las matemáticas en la música de forma similar? Las matemáticas tienen mucho que decir, por supuesto, sobre
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los aspectos más técnicos de la música, como la afinación de los instrumentos musicales o el diseño de las salas de concierto con una acústica satisfactoria. Pero su influencia en la música como arte ha sido, con pocas excepciones notables, más bien limitada; ambas disciplinas simplemente siguieron caminos separados. Típico de esa desconexión es el extenso tratado de Leonhard Euler sobre teoría musical (véase el capítulo IV), del que se decía que “contenía demasiada geometría para los músicos y demasiada música para los geómetras”. * Me crie en una familia en la que se apreciaba muchísimo la cultura europea: la literatura, el arte y la música. Mis padres no tenían educación musical, pero mi madre, que era artista, admiraba a Mozart; la radio siempre estaba puesta en la emisora de música clásica mientras ella pintaba unas flores preciosas en su mesa. Así que Mozart formó parte de mi infancia, tanto su música como las muchas historias sobre él que me contaba mi madre. Un día me llevó a ver una película sobre la vida de Mozart, décadas antes de que el Amadeus ficticio de Peter Shaffer llegase a las pantallas. Recuerdo llorar en la escena de las últimas horas de vida de Mozart, tumbado en su lecho de muerte mientras le dictaba las notas del Réquiem incompleto a su alumno Süssmayr. Mi abuelo materno fue el que me inculcó un interés de por vida tanto por la ciencia como por la música. Mi abuela y él se fueron de Alemania a Israel (entonces Palestina) en 1938, cuando la vida bajo el régimen nazi se volvió insoportable para los judíos. Tengo una foto de él tocando el violín para mí cuando yo tenía unos cinco años (es la fotografía que aparece junto a la 13
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dedicatoria de este libro).1 En el dorso, mi madre (que hizo la foto) escribió el nombre de la canción que mi abuelo me tocó aquel día: “Guter Mond, du gehst so stille” (hermosa luna, te mueves silenciosa), una canción de cuna tradicional alemana.2 Aquella fue la primera interpretación en directo que presencié y la sigo recordando con toda claridad. Un día, mi abuelo me dijo que tenía que vender el violín porque necesitaba dinero con desesperación. Se me saltaron las lágrimas.3 Mi abuelo también tenía el libro de física de cuando estudió en el gymnasium (el instituto). Lo habían publicado en 1897 y traía cientos de ilustraciones bellamente grabadas; lo que es más, informaba de los últimos desarrollos de la física, incluido el descubrimiento de los rayos X (entonces llamados rayos de Röntgen) y sus beneficios potenciales para la medicina. Estoy seguro de que mi abuelo se estudió el libro con mucha minuciosidad, porque hay anotaciones manuscritas en casi todas las páginas. Nos sentábamos juntos durante horas, hablando de temas diversos que él me explicaba; fue mi primera introducción a la ciencia. Todavía tengo aquel libro y lo conservo como un tesoro (véase la figura P.1). En la década de 1940, cuando las nubes oscuras de la guerra pendían sobre el mundo, mis padres ofrecían de vez en cuando 1 Le agradezco a mi hermana, Shulamit Nathansohn, que encontrase la foto entre los centenares que heredamos de nuestros padres. 2 Gracias a internet, pude volver a escuchar esta canción, setenta y cinco años después de que mi abuelo la tocase para mí. El lector la puede escuchar interpretada por Julien Neel en www.youtube.com/watch?v=7C_ yFytWKlU o seguir las notas y la letra en www.labbe.de/liederbaum/index. asp?themaid=25& titelid=438. 3 Aún conservo el diapasón con el que afinaba el violín. Tiene la inscripción A (la) en una de las ramas y, aunque esté oxidado, sigue produciendo esa nota en la frecuencia correcta, 440 Hz. 14
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Ilustración P.1. Dos páginas de Grundrifs der Physik [Fundamentos de física] del doctor K. Sumpfs, Hildesheim, 1897.
veladas de música clásica en su casa de Tel Aviv, en la que un tocadiscos mecánico (un gramófono) hacía girar discos de baquelita de 78 rpm. ¡Cuánto apreciaba aquellas ocasiones! Había que accionar el gramófono manualmente con una gran manivela, llamada popularmente manuela, que hacía funcionar la máquina durante diez minutos, lo justo para reproducir las dos caras de un disco. Si no girabas la manivela a tiempo, el tocadiscos se ralentizaba y con él el ritmo y el tono de la música. Una sinfonía de Beethoven de cuarenta minutos ocupaba entre cinco y seis de aquellos discos, guardados en las fundas de un gran libro muy ornado que parecía un álbum de fotos anticuado (la moderna palabra “álbum” que designa un conjunto de canciones es probable que proceda de aquellos álbumes físicos). ¡Cada uno de los tomos era tan pesado como un libro de texto de cálculo de mil páginas! 15
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Dios no permitiera que uno de aquellos discos resbalase de su funda y se rompiese contra el suelo, aunque lo más preocupante de reproducirlos era el estilete o aguja. Se suponía que había que cambiarla cada doce horas más o menos de reproducción, si no se despuntaba y estropeaba los surcos. Las agujas estaban hechas de cromo y durante la guerra el suministro se vio severamente limitado. Aunque no tardó en aparecer un sustituto: ¡las agujas de madera! No hay ni que decir que el sonido de los discos era muy áspero, pero fueron mi primer contacto con la música clásica. * “Todo músico inteligente debería conocer las leyes físicas que subyacen en su arte”, dice Clarence G. Hamilton en su encantador librito Sound and Its Relation to Music [El sonido y su relación con la música], publicado en 1912. Si ignoramos por un momento el tono un poco condescendiente de su declaración (note el lector que se dirige solo a los músicos varones, lo que por supuesto es coherente con las normas sociales de la época), es cierto que muy pocos compositores clásicos se implicaron directamente en las matemáticas o la física de su profesión. Entre los pocos que sí, destacan dos nombres: Jean Philip Rameau (1683-1764), quien escribió un tratado extenso sobre acústica, y Giuseppe Tartini (1692-1770), quien descubrió lo que ahora se conoce como tonos combinados (véase el capítulo V). En nuestra época han cambiado un poco las cosas y muchos compositores han intentado, con distintos grados de éxito, basar su música en principios matemáticos. El más destacado fue Schoenberg (1874-1951), de cuya música serial hablaremos en los capítulos IX y X. También habría que mencionar a Iannis Xenakis (1922-2001) y Karlheinz Stockhausen (1928-2007). Este último se formó como ingeniero 16
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civil y arquitecto antes de dedicarse a la música y utilizó los principios estocásticos en su obra; sus composiciones por lo general parecen más una mezcolanza de gráficos y líneas que las notas y los pentagramas de una partitura musical tradicional. El público de vanguardia en un principio recibió sus obras con mucho entusiasmo, pero si formará o no parte de la corriente principal del corpus de la música clásica está por verse. Esta es, pues, la historia de las relaciones entre dos grandes disciplinas que tienen tanto en común, aunque siempre hayan guardado una distancia respetable entre ellas. Esta no es, de ninguna manera, una historia completa sobre el tema, ni un libro de texto sobre las matemáticas y la física de la música, de los que ya existen muchos buenos. Más bien he procurado estudiar la afinidad músico-matemática desde una perspectiva histórica, atendiendo no solo a los hechos sino también a las personas que hay tras ellos: los científicos, los inventores, los compositores y los excéntricos ocasionales. No he evitado expresar mis propias opiniones sobre varios temas con las que algún lector quizá no esté de acuerdo, como los atributos emocionales (demasiado exagerados, según mi punto de vista) que se suelen asociar a las principales designaciones musicales. El libro se dirige al público en general interesado en las matemáticas, la música y la ciencia; no se requieren conocimientos matemáticos previos más allá del álgebra y la trigonometría de la enseñanza secundaria, pero sería conveniente tener un conocimiento básico de notación musical. Al final, no obstante, los objetivos contradictorios de las dos disciplinas limitan de manera inherente los intentos de relacionar las matemáticas con la música: las matemáticas y la ciencia en general se dirigen a nuestro intelecto, a nuestra capacidad para analizar pautas y relaciones abstractas de manera objetiva y lógica, mientras que la música se esfuerza por llegar a nuestro 17
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corazón, por despertar emoción con sus sonidos, sus ritmos, sus patrones temporales y sonoros. Cito el cartel que da la bienvenida a los que visitan el Museo de Instrumentos Musicales (MIM) de Phoenix, Arizona: “La música es el lenguaje del alma”. * Es inevitable que en cualquier debate sobre un tema interdisciplinar como este se mencionen de pasada varios campos adyacentes. No hay ni que decir que las leyes físicas juegan un papel en la música, como también en la astronomía, desde la creencia pitagórica de que las leyes de la armonía musical rigen las órbitas planetarias hasta el descubrimiento a finales del siglo xix de las resonancias entre las órbitas de los planetas y las de sus satélites, que muchas veces presentan las mismas proporciones que hay entre los intervalos musicales comunes (véase el capítulo XII). También se puede mencionar el reciente descubrimiento de las ondas sonoras en el vasto espacio que hay entre las galaxias, con una longitud de onda y afinación específicas (véase la Acotación C), quizá la última reencarnación de la antigua alegoría de la Música de las esferas. En cualquier caso, la distinción clara que hacemos ahora entre las matemáticas y las ciencias físicas y, de forma más general, las humanidades, no era práctica habitual en los tiempos pasados; de hecho, la mayoría de los grandes pensadores de la ciencia clásica, hasta principios del siglo xix, se consideraban tan matemáticos como filósofos, físicos y naturalistas. Se sentían cómodos en una amplia gama de disciplinas, que en conjunto consideraban una misión para intentar comprender el funcionamiento de la naturaleza. Y eso incluía la música.
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* Una nota sobre las referencias: para evitar las repeticiones, los libros a los que se refiere el texto se identifican solo por los datos necesarios para la narración; el lector encontrará los datos completos en la bibliografía. No hace falta mencionar que todos los términos relacionados con la música, así como las biografías de muchísimos compositores, se tratan en detalle en los exhaustivos veintinueve volúmenes del The New Grove Dictionary of Music and Musicians. El lector encontrará biografías excelentes de numerosos matemáticos en la página web de la Escuela de Matemáticas y Estadística de la Universidad de St. Andrews, Escocia (www. groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.html). Les estoy profundamente agradecido a mis amigos y compañeros David Andrea Anati, Wilbur Hoppe, Robert Langer y Michael Sterling por las muchas conversaciones que hemos tenido sobre cuestiones relacionadas con las matemáticas y la música. También quisiera agradecer a los correctores anónimos que leyeron el manuscrito e hicieron observaciones y sugerencias útiles. Un gran abrazo para Vickie Kearn, la editora de la Princeton University Press en la que llevo confiando casi veinte años, por sus valiosos consejos y orientación durante todo el proceso de escritura. También estoy en deuda con el personal por su atención incansable en todas las fases de producción del libro. En particular, me gustaría dar las gracias a Debbie Tegarden, que supervisó todo el proceso de producción y fue de gran ayuda con la selección de las ilustraciones, a Lauren Bucca, que se hizo cargo de obtener muchos de los permisos necesarios para reproducirlas, a Chris Ferrante por su diseño del texto y la cubierta y a Dimitri Karetnikov, Meghan Kanabay, Elizabeth Blazejewski y Jacquie Poirier por ocuparse de los gráficos, los archivos digitales y la 19
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composición; a Carole Schwager por la revisión del manuscrito, y a Jodi Beder por ayudarme a transcribir a Schoenberg en el capítulo X. Mi nieto Richard Maor me ayudó muchísimo en la búsqueda de imágenes apropiadas de algunos de los objetos que se muestran en las ilustraciones y le estoy muy agradecido. Y por último pero no menos importante, le debo la mayor gratitud a mi querida mujer Dalia, por animarme a que este libro llegase a buen término y por sus correcciones meticulosas antes de que fuese a imprenta. Sin ella esta obra no habría visto la luz. ¡Gracias a todos!
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